线性代数

发表于
整理了基本的线性代数定义及公式，以备查用

1 行列式的基本概念与计算

1.1 行列式的定义

1.1.1 排列和逆序

  • 一个排列中逆序的总数称为该排列的逆序数，记作$\sigma(i_1i_2\cdots i_n)$，如$\sigma(231546)=3$。

1.1.2 n阶行列式的定义

  • $\displaystyle\sum_{j_1j_2\cdots j_n} (-1)^{\sigma(j_1j_2\cdots j_n)} a_{1j_1}a_{2j2}\cdots a_{njn}$
  • 奇排列为负号，偶排列为正号

1.2 行列式的性质

  • $|A| = |A^T|$
  • $|a_1, \cdots, a_{i-1}, 0, a_{i+1}, \cdots, a_n| = 0$
  • $|a_1, \cdots, a_{i-1}, ka_i, a_{i+1}, \cdots, a_n| = k|a_1, a_2, \cdots, a_n|$（倍乘性质）
  • $|a_1, \cdots, a_{i-1}, a_i+b_i, a_{i+1}, \cdots, a_n| = |a_1, \cdots, a_{i-1}, a_i, a_{i+1}, \cdots, a_n|+|a_1, \cdots, a_{i-1}, b_i, a_{i+1}, \cdots, a_n|$（单列可拆性质）
  • $|a_1, \cdots, a_i, \cdots, a_j, \cdots, a_n| = -|a_1, \cdots, a_j, \cdots, a_i, \cdots, a_n|$（互换性质）
  • $|a_1, \cdots, a_i, \cdots, ka_i, \cdots, a_n| = 0$
  • $|a_1, \cdots, a_i, \cdots, a_j, \cdots, a_n| = |a_1, \cdots, a_i, \cdots, ka_i+a_j, \cdots, a_n|$（倍加性质）

1.3 行列式展开定理

  • 代数余子式$A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$
  • $|A| = \displaystyle\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij} = \sum_{i=1}^n a_{ij}A_{ij}$

1.4 范德蒙德行列式

  • 每一列为$[x_i^0=1, x_i^1, x_i^2, \cdots, x_i^{n-1}]^T$
  • $V_n = \displaystyle \prod_{1\leq i < j \leq n} (x_j - x_i)$

2 矩阵的基本概念与运算

2.1 矩阵的定义及其基本运算

2.1.1 矩阵的定义

  • 同型矩阵：$A(m\times n)、B(s\times k)$，其中，$m=s，n=k$

2.1.2 基本运算

  • $C=A+B=(a_{ij})_{m\times n}+(b_{ij})_{m\times n}=(c_{ij})_{m\times n}$
  • $kA = Ak = (ka_{ij})_{m\times n}$
  • $A+B = B+A$
  • $(A+B)+C = A+(B+C)$
  • $k(A+B)=kA+kB$
  • $(k+l)A = kA+lA$
  • $k(lA) = (kl)A = l(kA)$
  • $|kA| = k^n |A|$
  • $|A+B| \neq |A|+|B|$
  • $(A+B)^T=A^T+B^T$

2.1.3 特殊矩阵

  • 零矩阵
  • 单位阵
  • 数量阵：kE
  • 对角阵：非主对角元素均为零
  • 上（下）三角矩阵
  • 对称阵：$A=A^T$
  • 反对称阵：$A=-A^T$
  • 正交矩阵：$A^T=A^{-1} 或 AA^T=A^TA=E$

2.1.4 逆矩阵

  • $A^{-1} = \frac{A^*}{|A|}$
  • $[A|E] \xrightarrow{初等行变换} [E|A^{-1}]$
  • $\begin{bmatrix} A \\ E \end{bmatrix} \xrightarrow{初等列变换} \begin{bmatrix} E \\ A^{-1} \end{bmatrix}$
  • $(A^{-1})^{-1} = A$
  • $(kA)^{-1} = k^{-1}A^{-1}$
  • $(AB)^{-1} = B^{-1}A{-1}$
  • $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
  • $|A^{-1}| = |A|^{-1}$
  • ${\begin{bmatrix} A&O \\ O&B \end{bmatrix} }^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1}&O \\ O&B^{-1} \end{bmatrix}$， ${\begin{bmatrix} O&A \\ B&O \end{bmatrix} }^{-1} = \begin{bmatrix} O&B^{-1} \\ A^{-1}&O \end{bmatrix}$

2.1.5 伴随矩阵

  • $A^*=|A| A^{-1}$，$A A^* = A^* A = |A| E$
  • $|A^*| = |A|^{n-1}$
  • $(A^T)^*=(A^*)^T$
  • $(A^{-1})^*=(A^*)^{-1}$
  • $(AB)^*=B^*A^*$
  • $(A^*)^*=|A|^{n-2}A$

2.2 矩阵的秩(rank)

  • 初等变换不改变矩阵的秩
  • 有关秩的等式和不等式$A_{m\times n}$
    • $r(A)\leq min\{m,n\}$
    • $r(A)=r(A^T)$
    • $r(kA)=r(A) (k\neq 0)$
    • $r(A+B)\leq r(A)+r(B)$
    • $r(AB)\leq min\{r(A),r(B)\}$
    • $r(AB)\geq r(A)+r(B)-n$
    • $AB=O$时，$r(A)+r(B)\leq n$
    • $r(\begin{bmatrix} A&O \\ C&B \end{bmatrix})=r(A)+r(B)$
    • $r(A)+r(B) \leq r(\begin{bmatrix} A&O \\ C&B \end{bmatrix}) \leq r(A)+r(B)+r(C)$

2.3 特征值与特征向量

  • $A\xi=\lambda \xi（\xi\neq 0）$
  • 特征矩阵：$\lambda E-A$，特征多项式：$|\lambda E-A|$
  • $\displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda_i = \sum_{i=1}^n a_{ii} = tr(A)$
  • $\displaystyle \prod_{i=1}^n \lambda_i = |A|$

2.4 相似矩阵与相似对角化

2.4.1 矩阵的相似

2.4.1.1 定义

  • 设$A,B$是两个$n$阶方阵，若存在$n$阶可逆阵$P$，使得$P^{-1}AP=B$，则称$A$相似于$B$，记成$A\sim B$

2.4.1.2 性质

  • 若$A\sim B$，则有：
    • $r(A)=r(B)$
    • $|A|=|B|$
    • $|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$
    • $A,B$具有相同的特征值
    • $tr(A)=tr(B)$
  • 若$A\sim B$，则$A^m\sim B^m$，$f(A)\sim f(B)$（其中$f(x)$是多项式）
  • 若$A\sim B$，且$A$可逆，则$A^{-1}\sim B^{-1}$，$f(A^{-1})\sim f(B^{-1})$（其中$f(x)$是多项式）

2.4.2 矩阵可对角化的条件

  • 若存在矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=\varLambda$，其中$\varLambda$是对角阵，则称$A$可相似对角化，记$A\sim \varLambda$，称$\varLambda$是$A$的相似标准型
    • $A$有$n$个线性无关特征向量
    • 矩阵$A$的属于不同特征值的特征向量线性无关

2.4.3 实对称矩阵必可相似于对角阵

  • $A$是是对称阵，则$A$的特征值是实数，特征向量是实向量
  • 实对称阵$A$的属于不同特征值的特征向量相互正交
  • 实对称矩阵必可相似于对角阵，即必有$n$个线性无关特征向量$\xi_1,\xi_2,\cdots, \xi_n$，即必有可逆阵$P=[\xi_1,\xi_2,\cdots, \xi_n]$使得$P^{-1}AP=\varLambda$，其中$\varLambda=diag(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n)$，且存在正交阵，使得$Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\varLambda$，故$A$正交相似于$\varLambda$。

2.5 二次型

2.5.1 二次型及其矩阵表示

  • $n$元二次型：$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\displaystyle\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n a_{ij}x_ix_j$(其中$a_{ij}=a_{ji}$)，当所有系数均为实数时称为实二次型
  • $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^TAx$，$A^T=A$，$f$与$A$一一对应，$A$称作二次型矩阵，$A$的秩也是$f$的秩

2.5.2 合同变换，二次型的合同标准型、规范型

2.5.2.1 可逆线性变换

  • 若令$x=Cy$，其中，$|C|\neq 0$，则称$x=Cy$为可逆线性变换，若$C$是正交阵，则变换称为正交变换

2.5.2.2 合同二次型

  • 两个$n$阶矩阵$A，B$，若存在可逆阵$C$，使得$C^TAC=B$，则称$A$合同于$B$，记成$A\simeq B$，故经可逆线性变换后，二次型的对应矩阵是合同矩阵，此时的二次型称为合同二次型

2.5.2.3 二次型的标准型、规范型

  • 标准型：只含平方项，没有交叉项
  • 规范型：标准型中系数仅为$-1,0,1$
  • 任何实对称阵$A$必存在可逆阵$C$，使得$C^TAC=\varLambda$，其中$\varLambda$为标准型或规范型
  • 任何实对称阵$A$必存在正交阵$Q$，使得$Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\varLambda$，其中$\varLambda=\begin{bmatrix} \lambda_1 \\ &\lambda_2 \\ &&\ddots \\ &&&\lambda_n \end{bmatrix}$

2.5.3 惯性定理

  • 无论取什么样的可逆线性变换，将二次型化成标准型或规范型，其正项之数$p$（正惯性指数），负项之数$q$（负惯性指数）都是不变的
  • $rank=p+q$
  • 合同变换不改变正负惯性指数
  • 两个二次型（或实对称阵）合同的充要条件是拥有相同的$p，q，r$三选二

2.5.4 正定二次型

  • 对于任意的$x=[x_1,x_2,\cdots,x_n]^T\neq 0$，均有$x^TAx>0(<0，\geq 0，\leq 0)$，则称$f$为正定（负定，半正定，半负定）
  • 正定的充要条件
    • 对于任意的$x\neq 0$，均有$x^TAx>0$
    • $p=n$
    • 存在可逆阵$D$，使$A=D^TD$
    • $A\simeq E$
    • $\lambda_i >0$
    • A的全部顺序主子式$>0$
  • 正定的必要条件
    • $a_{ii}>0$
    • $|A|>0$

2.5.5 等价、相似、合同

  • 同型矩阵$A、B$等价
    • $A$经过初等变换得到$B$
    • 有可逆阵$P、Q$，使得$PAQ=B$
    • $r(A)=r(B)$
  • 同阶方阵$A、B$相似
    • 有可逆阵$P$，使$P^{-1}AP=B$
  • 同阶方阵$A、B$合同
    • 有可逆阵$C$，使$C^TAC=B$
    • $x^TAx，x^TBx$有相同的$p，q，r$三选二

3 向量组

3.1 向量的内积和正交

  • $\alpha^T\beta=0$时，称$\alpha，\beta$为正交向量
  • $||\alpha||=\sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i^2}$称为向量的模

3.2 施密特标准正交化

  • 线性无关向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$
    • $\beta_1 = \alpha_1$
    • $\beta_2 = \alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)} \beta_1$
    • $\cdots$
    • $\beta_n = \alpha_n-\frac{(\alpha_n,\beta_{n-1})}{(\beta_{n-1},\beta_{n-1})} \beta_{n-1} - \frac{(\alpha_n,\beta_{n-2})}{(\beta_{n-2},\beta_{n-2})} \beta_{n-2} - \cdots - \frac{(\alpha_n,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)} \beta_1$
  • 得到的$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$是正交向量组
  • 令$\eta_i=\frac{\beta_i}{||\beta_i||}$，则$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$是一组标准正交向量组

4 线性方程组

4.1 齐次线性方程组

  • $A_{m\times n} x = 0$

4.1.1 有解的条件

  • $r(A)=n$时，各行(列)线性无关，方程组有唯一零解
  • $r(A)=r<n$时，方程组有非零解，且有$n-r$个线性无关解

4.1.2 解的性质

  • 若$A\xi_1=0, A\xi_2=0$，则$A(k_1\xi_1+k_2\xi_2)=0$，其中$k_1$和$k_2$是任意常数

4.1.3 求解方法

  • 高斯消元法

4.1.4 基础解系和解的结构

  • 基础解系：$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}$ 线性无关，且 $Ax=0$ 的任意解均可由 $\xi_i$ 线性表出
  • 通解：基础解系的加权和，$\displaystyle \sum_{i=1}^{n-r} k_i \xi_i$，其中$k_i$是任意常数

4.2 非齐次线性方程组

  • $A_{m\times n} x = b$
  • $[A|b]$或$[A,b]$称为增广矩阵

4.2.1 有解的条件

  • 若$r(A)\neq r(A|b)$（$b$不能由 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 线性表出），则方程组无解
  • 若$r(A)=r(A|b)=n$（$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 线性无关，$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,b$ 线性相关），则方程组有唯一解
  • 若$r(A)=r(A|b)=r<n$，则方程组有无穷多解

4.2.2 解的性质

  • 设 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 是非齐次线性方程组 $Ax=b$ 的解，$\xi$ 是对应齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解，则
    • $\eta_1-\eta_2$ 是 $Ax=0$ 的解
    • $k\xi+\eta$ 是 $Ax=b$ 的解

4.2.3 求解方法和通解结构

  • 将增广矩阵做高斯消元，求出对应齐次线性方程组的通解，加上一个非齐次线性方程组的特解，即是非齐次线性方程组的通解